SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARESGEOMÉTRICOS
Sistemas de coordenadas
Desde la antigüedad, los seres humanos tienen la necesidad de orientarse para ubicar lugares, guiándosepor árboles, rocas, ríos, estrellas, etc. En el siglo XVII René Descartes introdujo el Sistema de Coordenadas Cartesianas que tiene la ventaja de localizar puntos en el plano.
- Tipos y clasificación de coordenadas
1.-Cilíndricas
Utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.
En este sistema, las coordenadasxeyson reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el planoXYcuya magnitud es igual a la distancia del punto al ejez, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semiejexpositivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenadazdel sistema cartesiano.
2.-Esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.
Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo
y el ángulo que su proyección sobre el planoXYforma con el semiejeXpositivo
.
Los ángulos
y
toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.
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| Sistema de coordenadas esféricas |
3.-Cartesianas
Método para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o más líneas de referencia.
En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O). Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes.
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| Sistema de coordenadas cartesianas |
4.-Polares
Forma de definir la posición de un punto en términos de la distancia r de un punto fijo llamado origen al punto y el ángulo
entre la línea del origen al punto y una línea fija llamada eje. Las coordenadas del punto se expresan como (r,).
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| Sistema de coordenadas polares |
- Aplicaciones
-GPS
Sistema que permite determinar en toda la tierra la posición de un objeto con gran precisión. Funciona mediante una red de 24 satélitesen órbitasobre la Tierra, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la tierra.
-Polares-micrófonos
El patrón polar de un micrófono es su sensibilidad al sonido en relación a la dirección o ángulo del que procede el sonido, o dicho de una forma más fácil la calidad con la que el micrófono "escucha" el sonido procedente de distintas direcciones.
Lugaresgeométricos
Se llamalugar geométricoa un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
- Ejemplos
-Meadiatriz
Mediatrizde un segmento es ellugar geométricode lospuntos del planoqueequidistande losextremos.
-Bisectriz
Bisectrizde un ángulo es ellugar geométricode lospuntos del planoqueequidistande lasrectasque forman el ángulo.
Análisis de las curvas cónicas
- Historia
El matemático Menecmo descubrió estas curvas y fue el matemáticoApolonio de Perga el primero en estudiarlas detalladamente y encontrar la propiedad plana que las definía. También descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas.
En el siglo XVI el matemáticoRené Descartes desarrollo un métodopara relacionar kas curvas con ecuaciones. Este método es la Geometría Analítica que se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en la variables x e y.
Las cónicas son las curvas más importantes ya que las propiedadesde reflexiónson de gran utilidad en la óptica y en la física.
- Tipos y formulas
-Elipses: son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.
-Hipérbolas: son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices, base y arista.
-Parábolas: son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz, arista.
-Circunferencia:es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.
- Usos
-Diseño de puentes
-Antenas
-Estadios
-Teoría de la luna
- Puntos de intersección
Para sacar los puntos de intersección se tiene que hacer x=0, y =0 y después usar la formula general para poder sacar los puntos.
- Extensión
Se gráfica y se acomoda:
<X< DOMINIO
<Y< RANGO
- Simetría
Con los ejes "x" y "y" se cambia el signo:
-Si la ecuación cambia, NO HAY SIMETRÍA.
-Si la ecuación no cambia, SI HAY SIMETRÍA.
